美国大学本科数学专业的必修课及教材

2017年07月01日 04:43

第一学年

几何与拓扑:

1、James R. Munkres, Topology:较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级;

2、Basic Topology by Armstrong:本科生拓扑学教材;

3、Kelley, General Topology:一般拓扑学的经典教材,不过观点较老;

4、Willard, General Topology:一般拓扑学新的经典教材;

5、Glen Bredon, Topology and geometry:研究生一年级的拓扑、几何教材;

6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee:研究生一年级的拓扑、几何教材,是一本新书;

7、From calculus to cohomology by Madsen:很好的本科生代数拓扑、微分流形教材。

代数:

1、Abstract Algebra Dummit:最好的本科代数学参考书,标准的研究生一年级代数教材;

2、Algebra Lang:标准的研究生一、二年级代数教材,难度很高,适合作参考书;

3、Algebra Hungerford:标准的研究生一年级代数教材,适合作参考书;

4、Algebra M,Artin:标准的本科生代数教材;

5、Advanced Modern Algebra by Rotman:较新的研究生代数教材,很全面;

6、Algebra:a graduate course by Isaacs:较新的研究生代数教材;

7、Basic algebra Vol I&II by Jacobson:经典的代数学全面参考书,适合研究生参考。

分析基础:

1、Walter Rudin, Principles of mathematical analysis:本科数学分析的标准参考书;

2、Walter Rudin, Real and complex analysis:标准的研究生一年级分析教材;

3、Lars V. Ahlfors, Complex analysis:本科高年级和研究生一年级经典的复分析教材;

4、Functions of One Complex Variable I,J.B.Conway:研究生级别的单变量复分析经典;

5、Lang, Complex analysis:研究生级别的单变量复分析参考书;

6、Complex Analysis by Elias M. Stein:较新的研究生级别的单变量复分析教材;

7、Lang, Real and Functional analysis:研究生级别的分析参考书;

8、Royden, Real analysis:标准的研究生一年级实分析教材;

9、Folland, Real analysis:标准的研究生一年级实分析教材。

第二学年

代数:

1、Commutative ring theory, by H. Matsumura:较新的研究生交换代数标准教材;

2、Commutative Algebra I&II by Oscar Zariski , Pierre Samuel:经典的交换代数参考书;

3、An introduction to Commutative Algebra by Atiyah:标准的交换代数入门

教材;

4、An introduction to homological algebra ,by weibel:较新的研究生二年级同调代数教材;

5、A Course in Homological Algebra by P.J.Hilton,U.Stammbach:经典全面的同调代数参考书;

6、Homological Algebra by Cartan:经典的同调代数参考书;

7、Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin:高级、经典的同调代数参考书;

8、Homology by Saunders Mac Lane:经典的同调代数系统介绍;

9、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud:高级的代数几何、交换代数的参考书,最新的交换代数全面参考。

代数拓扑:

1、Algebraic Topology, A. Hatcher:最新的研究生代数拓扑标准教材;

2、Spaniers “Algebraic Topology”:经典的代数拓扑参考书;

3、Differential forms in algebraic topology, by Raoul Bott and Loring W. Tu:研究生代数拓扑标准教材;

4、Massey, A basic course in Algebraic topology:经典的研究生代数拓扑教材;

5、Fulton , Algebraic topology:a first course:很好本科生高年级和研究生一年级的代数拓扑参考书;

6、Glen Bredon, Topology and geometry:标准的研究生代数拓扑教材,有相当篇幅讲述光滑流形;

7、Algebraic Topology Homology and Homotopy:高级、经典的代数拓扑参考书;

8、A Concise Course in Algebraic Topology by J.P.May:研究生代数拓扑的入门教材,覆盖范围较广;

9、Elements of Homotopy Theory by G.W. Whitehead:高级、经典的代数拓扑参考书。

实分析、泛函分析:

1、Royden, Real analysis:标准研究生分析教材;

2、Walter Rudin, Real and complex analysis:标准研究生分析教材;

3、Halmos,”Measure Theory”:经典的研究生实分析教材,适合作参考书;

4、Walter Rudin, Functional analysis:标准的研究生泛函分析教材;

5、Conway,A course of Functional analysis:标准的研究生泛函分析教材; 6、Folland, Real analysis:标准研究生实分析教材;

7、Functional Analysis by Lax:高级的研究生泛函分析教材;

8、Functional Analysis by Yoshida:高级的研究生泛函分析参考书;

9、Measure Theory, Donald L. Cohn:经典的测度论参考书。

微分拓扑 

1、Hirsch, Differential topology:标准的研究生微分拓扑教材,有相当难度;

2、Lang, Differential and Riemannian manifolds:研究生微分流形的参考书,难度较高;

3、Warner,Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups:标准研究生微分流形教材,有相当的篇幅讲述李群;

4、Representation theory: a first course, by W. Fulton and J. Harris:李群及其表示论标准教材;

5、Lie groups and algebraic groups, by A. L. Onishchik, E. B. Vinberg:李群的参考书;

6、Lectures on Lie Groups W.Y.Hsiang:李群的参考书;

7、Introduction to Smooth Mani

folds by John M. Lee:较新的关于光滑流形的标准教材;

8、Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation by V.S. Varadarajan:最重要的李群、李代数参考书;

9、Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , SpringerVerlag, GTM9:标准的李代数入门教材。

第三学年

微分几何:

1、Peter Petersen, Riemannian Geometry:标准的黎曼几何教材;

2、Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature by John M. Lee:最新的黎曼几何教材;

3、doCarmo, Riemannian Geometry.:标准的黎曼几何教材;

4、M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I—V:全面的微分几何经典,适合作参考书;

5、Helgason , Differential Geometry,Lie groups,and symmetric spaces:标准的微分几何教材;

6、Lang, Fundamentals of Differential Geometry:最新的微分几何教材,很适合作参考书;

7、kobayashi/nomizu, Foundations of Differential Geometry:经典的微分几何参考书;

8、Boothby,Introduction to Differentiable manifolds and Riemannian Geometry:标准的微分几何入门教材,主要讲述微分流形;

9、Riemannian Geometry I.Chavel:经典的黎曼几何参考书;

10、Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”Vol 1—3:经典的现代几何学参考书。

代数几何:

1、Harris,Algebraic Geometry: a first course:代数几何的入门教材;

2、Algebraic Geometry Robin Hartshorne :经典的代数几何教材,难度很高;

3、Basic Algebraic Geometry 1&2 2nd ed. I.R.Shafarevich.:非常好的代数几何入门教材;

4、Principles of Algebraic Geometry by giffiths/harris:全面、经典的代数几何参考书,偏复代数几何;

5、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud:高级的代数几何、交换代数的参考书,最新的交换代数全面参考;

6、The Geometry of Schemes by Eisenbud:很好的研究生代数几何入门教材;

7、The Red Book of Varieties and Schemes by Mumford:标准的研究生代数几何入门教材;

8、Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties by David Mumford:复代数几何的经典。

调和分析 偏微分方程

1、An Introduction to Harmonic Analysis,Third Edition Yitzhak Katznelson:调和分析的标准教材,很经典;

2、Evans, Partial differential equations:偏微分方程的经典教材;

3、Aleksei.A.Dezin,Partial differential equations,Springer-Verlag:偏微分方程的参考书;

4、L. Hormander “Linear Partial Differential Operators, ” I&II:偏微分方程的经典参考书;

5、A Course in Abstract Harmonic Analysis by Folland:高级的研究生调和分析教材;

6、Abstract Harmonic Analysis by Ross Hewitt:抽象调和分析的经典参考书;

7、Harmonic Analysis by Elias M. Stein:标准的研究生调和分析教材;

8、Ellipti

c Partial Differential Equations of Second Order by David Gilbarg:偏微分方程的经典参考书;

9、Partial Differential Equations ,by Jeffrey Rauch:标准的研究生偏微分方程教材。

复分析 多复分析导论

1、Functions of One Complex Variable II,J.B.Conway:单复变的经典教材,第二卷较深入;

2、Lectures on Riemann Surfaces O.Forster:黎曼曲面的参考书;

3、Compact riemann surfaces Jost:黎曼曲面的参考书;

4、Compact riemann surfaces Narasimhan:黎曼曲面的参考书;

5、Hormander ” An introduction to Complex Analysis in Several Variables”:多复变的标准入门教材;

6、Riemann surfaces , Lang:黎曼曲面的参考书;

7、Riemann Surfaces by Hershel M. Farkas:标准的研究生黎曼曲面教材;

8、Function Theory of Several Complex Variables by Steven G. Krantz:高级的研究生多复变参考书;

9、Complex Analysis: The Geometric Viewpoint by Steven G. Krantz:高级的研究生复分析参考书。

专业方向选修课:

1、多复分析;2、复几何;3、几何分析;4、抽象调和分析;5、代数几何;6、代数数论;7、微分几何;8、代数群、李代数与量子群;9、泛函分析与算子代数;10、数学物理;11、概率理论;12、动力系统与遍历理论;13、泛代数。

数学基础:

1、halmos ,native set theory;

2、fraenkel ,abstract set theory;

3、ebbinghaus ,mathematical logic;

4、enderton ,a mathematical introduction to logic;

5、landau, foundations of analysis;

6、maclane ,categories for working mathematican。应该在核心课程学习的过程中穿插选修

假设本科应有的水平

分析:

Walter Rudin, Principles of mathematical analysis;

Apostol , mathematical analysis;

M.spivak , calculus on manifolds;

Munkres ,analysis on manifolds;

Kolmogorov/fomin , introductory real analysis;

Arnold ,ordinary differential equations。

代数:

linear algebra by Stephen H. Friedberg;

linear algebra by hoffman;

linear algebra done right by Axler;

advanced linear algebra by Roman;

algebra ,artin;

a first course in abstract algebra by rotman。

几何:

do carmo, differential geometry of curves and surfaces;

Differential topology by Pollack;

Hilbert ,foundations of geometry;

James R. Munkres, Topology。

附:学生介绍的美国大学理工科数学教材

  现在很流行的课本是james stewart的calculus。这本书应用广泛,且长盛不衰,版本到第五版了,价格也随之飙升到156美元,有一阵南加州有一个学生游行,就是专门重点抗议这本书出了第五版,且涨了27块钱。随之,就连《初级微积分》(prec

alculus)都是stewart出的。

  这本书很厚,上千页,就我看来包含了同济版的所有内容。从最初的极限,求导,积分,无穷级数,到多重积分,常微积分。尤其是对于一些偏枝很是强调,比如说物理应用,球面柱面坐标应用,另外对求复杂积分的难度有要求。另外淡化了极限的理论定义,主要以应用为主。但是写得非常详尽,该有的例题都有了,这本微积分并不算难。流行的好处是,本书要想下载,只要到网上一搜,有很多资源。

  另一本是偏理论性的,caltech,MIT都骄傲地宣称他们使用此书,Apostol的calculus and linear algebra,是将微积分与线性代数结合在一起的。虽然两者有共同处,但是这么一编排就难度加大很多,因为线性代数是很抽象的东西。第一章节就是证明实数空间,然后证明几大公理,然后先讲积分,积分应用,之后才是连续方程,求导数,后面紧接着就是复数空间,微分方程,向量空间,线性空间。由此可见它是一个劲地把人往理论那方面引,好处是没有那么多繁琐的应用内容,不用记一堆各种各样的公式。这本书应用范围不广,主要是一些顶尖理工类学校,以及某些荣誉课程(honor course)。说到这本书,郁闷之处是分成了上下两册,一本125美元,两本共250美元。实在是太贵了。

  学完微积分就该学线性代数了,线性代数最出名的是MIT用 的:Introduction to Linear Algebra,Third Edition价格是80美元,价格便宜量又足。从目录上看,典型的线性代数。我一本中文的线性代数课本也没有,无法参考,但是从网上下载了不少课件一类的东西投机取巧。豁然发现原来大家的编排差距很大,前面自然相似,矩阵,逆矩阵,行列式,然后是LU,这个据我们教授讲,属于新的内容,但是现在一直对这个LU求逆矩阵的方法有质疑,后面的内容就开始不同了。

  这个线性代数不分文理科,所有的人都上一个内容,我觉得好像比中国的内容要多很多似的,在网上随便搜索了一下,发现中国通常只会学到前一半的内容,到向量空间就差不多了,然后是二次型,标准型什么的,而这里的线性代数很容易向应用方面纵深,从微分方程到线性估算,我的课本有1/3的内容是应用方面的。这里的难度,其实还是很简单的。本科生阶段的线性代数再难也不能难到哪里去。不过推荐有心人把课本后面的东西认真看一下。这本很好下载,因为流行,所以也是满大街都是。

  另一本叫做elementary linear algebra,作者是Howard Anton,Chris Rorres,价格挺贵,116美元。就流行度而言,其实有点默默无闻,但是我挺喜欢的,因为这本书非常简单。因为简单所以明了。这本

书是美国大学标准教材,但是口碑并不好。可能是因为这门课程的混乱吧。

  我开始读的时候,不夸张地说——每行字都要读两遍才能弄明白,换了一本书以后我才发现,其实还是我的问题。课本里的例题一般,应该可以做得更好——这本书的作者基于一个事实:学习这个课程的学生已经熟练掌握了微积分内容,很多解题过程中的计算都会被省略掉。定理的证明比较模糊,因为格式不是很讲究,稀里哗啦写一片,读得实在痛苦。有一些比较复杂的证明没有给出来,如果一定要研究的话就要自己找书看。习题前面几道比较简单,后面的也不难。在习题里面包含一些历史命题,都是现在的学生有能力证明的。书后面附录所有习题的答案,但是没有过程。

  总体感觉不是很好,语言组织的不好。不是那么流畅易读。例题跳步严重,有时候没有老师在身边补充,可能会卡住。所以不推荐自学使用。但是用作课本也没有那么糟糕。至少它的例题都很清楚,内容全面。

  另外有一本广受好评的课本 ——Ordinary Differential Equations。这本书是16开,砖头一样的,纯黑白印刷书。很少有示意图——这是一个缺点。有时候有一幅函数图比N多字都解释得清楚。

  这本书的编排是很有特色的,分成章节之后,还在章节内分成“课程”。每个课程只有半页到1页纸长,都包含独立的习题和答案,很容易就能读下去。但是分得太细了。解题步骤详细,除了步骤以外,还会用文字解释每一步。理论的证明一般,有一些定理没有在正文里证明(可能是因为要保持每个课程短小的篇幅),放在了附录里面证明,证明的非常全面,严密。

  这本书比较适合自学,优点就是价格便宜,只要16美元,简直就跟白捡的一样!而且内容据说也是“完美”的,虽然听着挺夸张,不过和我即将使用的那本比起来好像的确不在一个重量级别上。因为这本是ODE常微分方程,可能配合着使用POE偏微分方程,就是很合适的。

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